Un repaso al puente Wheatstone y el método de cálculo

Introducción:

Este aparato se usa para medidas de resistencias desconocidas usando el equilibrio de brazos que usa el puente.
Podeis ver en Wikipedia la configuración del puente y más información al respecto.

esquema puente Conociendo las resistencias R1, R2, R3 y el voltaje entre C y B se puede calcular con mucha precisión el valor de Rx, pero siempre teniendo en cuenta la precisión o tolerancias de las resistencias implicadas,, cualquier variación en alguna resistencia dará lugar a un error en la lectura.

Este documento estudia un poco el comportamiento matemático y no lineal que presenta el aparato en diferentes rangos.

Desarrollo:

 

Usando la primera ley de Kirchoff o ley de los nudos:

nudospodemos ver todas las intensidades en cada rama, cada resistencia, en nuestro caso no nos va a servir de mucho, a no ser que el medidor de voltaje tuviera una resistencia pequeña que afectara significativamente al conjunto de resistencias.

Como explicación de esta ley, debemos estudiar cada nudo o punto de unión, y ver que las intensidades que entran y salen deberán ser igual a 0, por lo que se puede montar un sistema de equaciones que nos resolverán el problema:
A -> I1-I2-I3=0
B -> I3+I4-I6=0
C -> I2-I4-I5=0
D -> I5+I6-I1=0
Todavía nos faltan equaciones con otros parámetros, con la siguiente ley de Kirchoff sabríamos lo que nos falta para terminar el sistema. No nos hace falta.

Usando la segunda ley de Kirchoff o ley de las mallas:

mallasEsta ley nos dice que el voltaje en cada circuito cerrado ha de ser 0.
Por lo tanto podemos sacar dos equaciones , suponiendo que la fuente de alimentación es E1 :
E1 - I1*R1 - I1*R2 = 0 |
E1 - I2*Rx - I2*R3 = 0 |

Viendo el circuito asociado y con práctica se puede ver que sabiendo la I1 y conociendo la R1 tendremos la caida de tensión, o voltaje en "c" por lo tanto Vc, luego dejando Rx como incognita y la I2 sabremos el voltaje en "b" Vb.
Y para saber el voltaje en el medidor solo habrá que restar :
Vc - Vb = Vfinal

Se puede hacer de diversas formas, una de ellas es la siguiente:
Aislamos I1 de la primera equación: E1=I1*R1 + I1*R2 -->movemos la E1 al otro lado
E1=(R1+R2)*I1 --> Hemos hecho factor común de la I1
I1=E1/(R1+R2) --> Aislamos I1 pasando lo multiplicado al otro lado dividiendo

Por último en la primera equación tenemos la I1 , sabiendo la R1 podemos saber que voltaje tenemos en Vc: Vc=R1*I1 --> Vc=R1*E1 / (R1+R2)

Ahora el mismo procedimiento para la segunda equación:
I2=E1 / (Rx+R3) --> Vb=Rx*I2 -->Vb=Rx*E1 / (Rx+R3)

Ahora ya tenemos todo lo necesario para saber el Vfinal: Vc-Vb=Vfinal
R1*E1 / (R1+R2) - Rx*E1 / (Rx+R3) = Vfinal --> hacemos factor común con E1 para dejar más bonita la equación:

Vfinal= E1 * ( (R1 / (R1+R2))-(Rx / (Rx+R3)) )

Podemos ver que las incognitas asociadas serán Rx y Vfinal , no parece un sistema lineal en el cual se pueda calcular una pendiente y un cálculo rápido, por lo que vamos a hacer un plot o gráfica para ver como es: (usando Maple para el cálculo, E1=12 voltios, R1=R2=R3=100 ohms)

plot(12*(x/(100+x)-100/(100+100)), x = 10 .. 2000);
plot(12*(x/(100+x)-100/(100+100)), x = 50 .. 200);
plot(12*(x/(100+x)-100/(100+100)), x = 80 .. 120)
plots

En la primera gráfica se ha intentado medir el voltaje usando variaciones de dos ordenes de magnitud, por lo tanto se aprecia una bonita curva logarítmica, no nos sirve para el cálculo rápido, pero sí para uno matemático.
La segunda gráfica se ha probado con el doble del valor de referencia, entre 50 y 200 ohms, contando que el resto es de 100 ohms. Todavía parece una curva aunque ya no nos presenta tantos problemas para calcular visualmente el valor.
La tercera gráfica ya nos muestra una "casi" recta, teniendo en cuenta que nos hemos ido un 20% arriba y abajo del valor de 100 ohms.

Conclusión:

Tenemos calculada la equación para saber exactamente que Rx estamos midiendo sabiendo el Vfinal.
Aunque no es completamente lineal, a pequeña escala podemos calcular pequeñas variaciones de resistencia con mucha precisión.
Para mayores variaciones tendremos que recurrir siempre a la equación obtenida.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Puente_de_Wheatstone

Apunts de física per a Fonaments de física 2, Jordi Badosa i Franch, Universitat de Girona.

Enlace al archivo en Maple para las gráficas y algunos cálculos: calculo puente (Guardar contenido como .mw para poder abrirlo con Maple)

29-08-2010

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